Олаф Виганд. «Знаки in concreto» — К кантовскому «формалистическому» обоснованию математики

Введение

В XIX веке стремления различных математиков были направлены к тому, чтобы свести все понятия реальной и комплексной теории чисел к одному основному понятию, а именно множеству. На рубеже XIX и XX веков усилия по построению математики на фундаменте теории множеств поначалу принесли сильное разочарование. Появление парадоксов в теории множеств привело математику к кризису, названному Германом Вейлем «кризисом оснований»^[1]. Возможно, именно эти надежды и степень разочарования в них и вызвали упорные дискуссии по проблеме парадоксов, хотя уже в 1908 г. Цермело предъявил для нее аксиоматическое решение^[2].

Кризис оснований породил различные подходы к новому обоснованию математических наук – в частности, интуиционизм и формализм. При этом интуиционисты уделяли большое внимание различным аспектам «Критики чистого разума»^[3] (далее КЧР). Так, интуиционисты полагали, что именно Кант гносеологически обосновал идею о конструировании математических объектов деятельным субъектом и, в частности, тот факт, что такая деятельность осуществляется к тому же во времени.

Давид Гильберт, к которому восходит формализм в основаниях математики, также неоднократно подчеркивал связи между своим обоснованием математики и кантовской философией. Таким образом, наряду с дискуссией об отношении интуиционизма к кантовской философии возникает восходящий к неокантианству подход^[4], рассматривающий Канта в связи с гильбертовским формализмом. В новейшее время эта связь, которая долго находилась в тени дискуссии об интуиционизме, снова тщательно изучается с различных сторон^[5].

В дальнейшем я ссылаюсь на предшествующие моей работе по этой теме исследования Ульриха Майера из Геттингена. В них он убедительно показывает, что вопреки широко распространенному мнению Гильберт по праву может ссылаться на Канта, когда утверждает, что бесконечное есть только «идея» (в кантовском смысле). Майер убедительно доказал, что такая ссылка на кантовское учение об идеях прямо следует из взглядов Гильберта, а именно, что бесконечное не может быть данным ни как «актуально бесконечное», ни как существующее в эмпирическом или чистом созерцании^[6]. Исходя из этого понимания Гильберт впоследствии сделал выводы, опровергающие развитое в КЧР учение о формах созерцания, в которых в математике дано бесконечное, взятое в некотором, еще более определенном смысле. Тем самым для бесконечного остается лишь роль «чистой» идеи в кантовском смысле. В отношении обоснования математики гильбертовская позиция, в соответствии с точкой зрения Майера, несомненно, близка докритической философии, в которой Кант обосновывает математику при помощи «знаков in concreto»^[7].

Очевидно, что попытка обосновать математику, опираясь на Гильберта и Канта, весьма многообещающа, поскольку объединяет различные аспекты конструктивной теории математики. Кратко обрисованные тезисы Майера с этой точки зрения все-таки выглядят односторонними, ибо он во многом присоединяется к гильбертовской интерпретации Канта. Поскольку Гильберт из систематических соображений не принимает ряд важных положений, в частности, относящихся к трансцендентальной эстетике, изложение Майера также обременено трудностями (которые будут изложены в дальнейшем) формалистического обоснования математики в смысле Гильберта. Майер не предлагает никакого разрешения этих трудностей. Более сильное воздействие кантовской философии математики в некоторых случаях может помочь выбраться из тупика.

В данной статье без претензии на исчерпывающее изложение или трактовку проблемы в целом затрагиваются только два проблематических пункта теории математики по Гильберту:

1) вопрос о происхождении понятия математической бесконечности: в случае, когда бесконечное в математике и логике, даже если оно обозначается как «отрицание конечного»^[8] или как чистая идея, «не сотворено любимым Богом»^[9] (здесь Гильберт иронически использует высказанный в другой связи Кронекером оборот), мы снова оказываемся перед задачей полного прояснения генезиса этой «идеи»;

2) формалистическое обоснование математики прежде всего основывается – и эти соображения должны быть предпосланы теории бесконечного – на той предпосылке, согласно которой чувственно данные и артикулированные (т. е. воспринимаемые как таковые и количественно определенные) конфигурации всегда могут быть только конечными (бесконечное не может быть данным в созерцании). Точнее говоря, это положение означает (принимая во внимание гильбертовское намерение обосновать натуральные числа только при помощи таких конфигураций), что уже натуральные числа, большие 10 или 12 не могут более быть представленными в собственном смысле (т. е. посредством артикулированного целостного восприятия, например, как множества меловых штрихов).

Положив в основу определенное толкование КЧР, в кантовском учении о чистом созерцании можно найти некоторые положения теории современной математики, которые по достоинству оценивают как гильбертовские раздумья относительно эмпирических или чистых созерцаний в качестве источника бесконечного, так и обе названные здесь систематические точки зрения. То, что для такой теории «знакам in concreto» принадлежит решающая роль, было замечено Кантом уже в докритический период. Однако предложенную Кантом теорию следует все-таки дополнить, принимая во внимание современную абстрактную (сформулированную Гильбертом) математику^[10]. Именно конструкции такой математики, прежде всего неэвклидова геометрия, ближе всего подходят к чисто «формалистическому» видению математики^[11]. Здесь следует обратить внимание на теоретико-познаватель­ную мотивацию формалистического понимания математики.

Получающаяся в результате кантовско-гильбертовская модель обоснования математики, за которую мы здесь высказываемся, демонстрирует следующий факт: обращение к Канту сторонников несовместимых подходов к новому обоснованию математики можно рассматривать как две стороны одной («конструктивной») монеты.

Прежде всего следует кратко обрисовать важнейшие положения так называемой программы Гильберта. Затем мы опишем некоторые аспекты гильбертовского обращения к Канту и, наконец, в-третьих, рассмотрим гильбертовскую критику Канта, причем принимаются во внимание обе рассмотренные ранее систематические точки зрения.

1. Программа Гильберта

Гильбертовская попытка формалистического обоснования математики – и в этом отношении он расходится с интуиционистами – должна была сохранить последнюю в ее существующих формах. В 1922 г. Гильберт обрисовал свои намерения в следующих словах: «Моей целью является надежно обосновать математику; я хотел бы восстановить репутацию неуязвимой истинности математики, которая, казалось, была потеряна благодаря парадоксам теории множеств; но я думаю, что это возможно при полностью сохраненных ее позициях»^[12]. Его усилия при этом были сосредоточены на проблеме бесконечного и нацелены на решение этой проблемы, которая, как ему представлялось, выходит за пределы отдельно взятой науки. В работе «О бесконечном» Гильберт утверждает, «… что окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за пределы узких интересов специальных наук и, более того, что оно стало необходимым для чести самого человеческого разума»^[13].

Гильберт достиг бы своих целей, если бы математические действия с понятием бесконечности и всеми понятиями, которые на нее прямо или косвенно ссылаются, действительно оказались бы бессмысленными. Доказательство этого, как надеялся Гильберт, должно было бы находиться в рамках его «программы консервативности»^[14]: самыми простыми из возможных средств нужно доказать, что использование абстрактных методов в математике, т. е. применение абстрактных операций при построении доказательств, является консервативным. Это означает, что каждое конкретное утверждение, полученное с помощью абстрактных методов, может быть получено и без них. Для уточнения того, что Гильберт здесь имеет в виду, следует подробно проанализировать понятие «финитизм», которое сам Гильберт не сформулировал ясно.

В области конкретной математики существуют финитные осмысленные предложения и финитные средства доказательства. Финитные осмысленные высказывания суть так называемые «реальные высказывания», то есть уравнения типа , где f и g являются в некотором в разумном смысле простыми (например, простейшими рекурсивными) функциями. Конечные доказательства соответствуют, например, вычислениям или комбинаторным перестановкам. Сложные высказывания, к примеру, такие высказывания, которые ссылаются на бесконечные множества, а также и такие высказывания, которые употребляют , суть только «идеальные высказывания». Как таковые они не имеют никакого смысла, но тем не менее с ними можно работать при помощи абстрактных методов. Эти идеальные высказывания, хотя и не позволяют вывести новые реальные высказывания, упрощают соответствующие теории^[15]. Так, для определенных теорий может стать необходимым «… к конечным высказываниям присоединить идеальные высказывания для того, чтобы удержать формально простые законы обычной аристотелевой логики»^[16].

Чтобы лучше понять ход мыслей Гильберта, нужно представить себе, что он твердо придерживается следующих убеждений.

1. Можно обойтись без бесконечного фактически в каждом отдельном случае. Это и был упомянутый «замысел» его теории, состоящий в том, чтобы в конце концов свести математику к конечным процессам: «Мы должны бесконечное, в смысле бесконечной совокупности, в тех случаях, где оно встречается в выводах еще и теперь, понимать как нечто кажущееся, подобно тому, как в предельных процессах исчисления бесконечно малых оказалось возможным показать, что бесконечное, в смысле бесконечно малого и бесконечно большого, есть просто оборот речи. И подобно тому, как действия с бесконечно малыми были заменены процессами в конечном, которые дают те же результаты и приводят к тем же изящным формальным соотношениям, выводы, содержащие бесконечное, должны быть вообще заменены конечными процессами, дающими в точности те же результаты, т. е. позволяющими проводить тот же ход доказательства и применять те же методы для получения формул и теорем»^[17].

2. При этом следует исходить из того, «… что каждая математическая проблема разрешима»^[18]. Лишь благодаря геделевской теореме о неполноте было разрушено разделяемое Гильбертом убеждение в том, что все математические истины являются также доказуемыми.

В своей аргументации Гильберт в пункте 1 исходит прежде всего из бесконечностей в природе. «Бесконечная делимость континуума – это операция, существующая только в человеческом представлении, это только идея, которая опровергается нашими наблюдениями над природой и опытами физики и химии»^[19]. То же самое можно сказать и о бесконечно больших величинах: «Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность. Но понятия неограниченность и конечность не исключают друг друга»^[20]. Как мало бесконечное встречается в природе, столь же мало оно может осмысленным образом составлять основу мышления.

Тем самым получается, что ни становящееся «потенциальное бесконечное»^[21], ни бесконечное, мыслимое как актуально завершенное, никоим образом не может быть воспринимаемым: «… бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления – здесь мы имеем замечательную гармонию между бытием и мышлением»^[22].

Гильберт считал реальные высказывания, например, предложения элементарной теории чисел, осмысленными, так как полагал, что этот раздел конкретной математики можно возвести к созерцанию, причем он истолковывал натуральные числа как последовательность штрихов, которые объединяются с помощью знака «+», как, например,
«| + | + |». «Эти числовые символы – они и являются объектами нашего рассмотрения – сами по себе не имеют никакого значения»^[23]. При помощи «чисел» можно придать созерцательный характер основополагающей операции теории натуральных чисел «прибавление единицы». Наше позиционное десятичное изображение натуральных чисел, например, с помощью арабских цифр, является символическим, в том смысле, что арабские знаки «1», «2»… обозначают и такие конфигурации штрихов. Сами числа – например, «| + | + |» – очевидно, не имеют никакого дополнительного смысла, арабские же знаки, напротив, имеют своим значением именно числа. В рамках такого обоснования математики не только бесконечные объекты являются идеальными элементами, но уже и отрицательные числа не могут получить никакого наглядного значения.

В интересах дальнейшего изложения важно подчеркнуть, что Гильберт в связи с этим явно настаивает на «содержательности» элементарного математического мышления: прежде всего должны быть даны «…определенные внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления»^[24]. В применении к ним становятся «надежными» логические выводы, т. е. абстрактное оперирование с общими объемами и содержаниями понятий. Для обеспечения такой надежности «…эти объекты должны быть полностью во всех своих частях обозримыми; их показ, их различие, их следование друг за другом и существование одного из них наряду с другими даются непосредственно, наглядно, вместе с объектами как нечто, не могущее быть сведенным ни к чему другому и не нуждающееся в таком сведении… В частности, в математике предметом нашего рассмотрения являются сами конкретные знаки, вид которых, согласно нашей установке, может быть непосредственно отчетливо и многократно опознан»^[25].

Далее Гильберт добавляет, что он коротко называет знаки таких образов такими же знаками^[26].

В этом пункте формализм часто сталкивается с вопросом^[27] о том, на каком основании в таком случае конфигурации, например, пяти меловых штрихов (которые, естественно, отличаются друг от друга), могут быть признаны «одним и тем же» знаком, на основании постоянства или же способа порождения. Этот вопрос, как показал Майер, может быть поставлен уже исходя из текстов самого Гильберта. Гильберт, хотя и говорит, что для построения теории чисел необходима известная наглядная установка a priori, относительно Канта все-таки считает, что последний «далеко переоценил роль и объем априорного»^[28]. Майер здесь ссылается на то, что Гильберт отклоняет как ложную альтернативу^[29] строгое различие между априорным (в кантовском смысле, а значит, по меньшей мере потенциальной бесконечностью) и чистым эмпирическим созерцанием. Разработанное Гильбертом понятие созерцания Майер описывает как «созерцание a priori финитного характера»[30]. Отличие этого понятия созерцания от кантовского четко проявляется в том, что для Гильберта бесконечное не может быть дано в созерцании (чистом, или эмпирическом, в смысле Канта). «Именно «финитный» является для Гильберта признаком созерцания, и наоборот, созерцание является гарантом финитности»[31].

Для Гильберта математика, тем самым, начинается с созерцания: «… в начале был знак»[32]. Эти усилия Гильберта по новому обоснованию математики посредством возвращения основных математических понятий к рецептивности, с которой и в которой может быть дано только конечное, очевидным образом находятся в полном противоречии с той ролью, которую Кант в «Критике чистого разума» приписывал в математическом познании пространству и времени, поскольку с введением форм созерцания в математику вводится бесконечное.

К сожалению, из-за ограниченного объема статьи мы не будем здесь затрагивать гильбертовскую программу доказательства непротиворечивости (вторую часть так называемой программы Гильберта) и ее связь с кантовcким учением о регулятивном употреблении идей[33]. Укажем лишь на то, что опровергнутая теоремой Геделя программа доказательства непротиворечивости наряду с другими осмысленными предложениями включает также и гильбертовскую программу доказательства косервативности[34]

2. Гильберт и Кант

Как раз, в связи с только что указанным нами пониманием понятия бесконечности, Гильберт ссылается на Канта: «Роль, которая остается бесконечному, это только роль идеи, – если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности, – более того, идеи, которой мы можем вполне доверять в рамках, поставленных теорией, намеченной и защищаемой мною здесь»[35].

По различным причинам эта ссылка на Канта загадала загадку многочисленным интерпретаторам Гильберта. В частности, если учесть развитие неэвклидовой геометрии, Гильберт должен был бы отклонить кантовскую трансцендентальную эстетику и тем самым теорию синтетических суждений a priori, а вместе с ней, как часто необоснованно утверждают, и кантовскую философию вообще[36]. Его обращение к кантовским идеям разума было предпринято как бы для красного словца, и на него можно смотреть как на совершенный математиком простительный промах.

Майер убедительно доказывает с помощью различных, частью неопубликованных, текстов Гильберта, что обращение последнего к кантовскому учению об идеях разума и их чисто регулятивном употреблении совершенно оправдано. Согласно Майеру, из гильбертовской критики кантовского объяснения пространства и времени прямо следует, что, вопреки описанному выше поспешному игнорированию гильбертовского обращения к Канту, Гильберт обозначает бесконечное, которое для него не может быть дано ни в эмпирическом, ни в чистом созерцании, только как идею в кантовском смысле.

В «Критике чистого разума» есть два очень популярных высказывания о пространстве и времени:

1. «Пространство представляется как бесконечная данная величина» (В 39, а также А 25). Аналогично для времени, которое также должно восприниматься «как неограниченно данное» (В48 / А32).

2, а. «Истинное (трансцендентальное) понятие бесконечности заключается в том, что последовательный синтез единицы измерения количества никогда не может быть закончен» (В460). К этому можно прибавить:

2, б. Пространство «делимо до бесконечности» (В 553).

В соответствии с вышеизложенной гильбертовской аргументацией, касающейся понятия бесконечности, и его намерением отождествить числа в собственном смысле с рецептивно данными и потому по необходимости конечными конфигурациями может показаться, что Гильберт должен решительно и вполне справедливо отказаться как от высказываний (1), согласно которым и пространство и время (которые должны быть бесконечными величинами) даны (в смысле интуитивно данных), так и от (2) – пространство и время суть бесконечные в смысле бесконечных делимости и продолжаемости. Этот отказ был выражен в следующем весьма типичном для Гильберта высказывании, которое по содержанию полностью аналогично уже приведенной выше цитате из статьи «О бесконечном»: «Второй раз мы наталкиваемся в природе на вопрос о бесконечности при рассмотрении вселенной в целом. Мы должны теперь исследовать протяженность вселенной, чтобы узнать, нет ли здесь бесконечно большой величины… При попытках умозрительно показать бесконечность пространства вкрадывались также и очевидные ошибки. Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность. Но понятия неограниченность и конечность не исключают друг друга. Математические исследования дают нам так называемую эллиптическую геометрию – естественную модель конечного мира»[37].

Принимая во внимание эту ситуацию, Майер ссылается теперь на prima facie (с первого взгляда, по видимости (лат.). – Прим. ред.) существенное сходство мнения Гильберта с обоснованием математики при помощи «знаков in concreto», которое Кант предположительно предлагает[38] в 1764 году в своей статье «Исследование о ясности положений натуральной теологии и морали».

В этой статье Кант кажется исследователем из ХХ века, описывающим современную математику с позиций формализма. Он говорит здесь о чистой «…производимой по правилам перестановке знаков…»[39], чем делает возможным то, что в ходе доказательства «сами обозначаемые вещи остаются при этом совершенно вне сферы мысли…»[40]. Как всегда случается при чтении подобных этому мест, Кант здесь не имел в виду формалистическое обоснование математики, т. к. он полагал, что «…в конце концов не расшифровывается значение символического вывода»[41]. Эти математические объекты уже в докритический период имеют синтетическую природу: «Дело в том, что математика никогда не объясняет какого-либо данного понятия посредством расчленения, а всегда разъясняет объект, произвольно соединяя [признаки], благодаря чему только и становится возможной сама мысль об этом объекте»[42].

Кант говорит в приведенных цитатах об этих синтетических объектах как о «значениях» знаков. На эти понятия указывают литеры, которыми манипулируют, не принимая во внимание их значений. Но как выглядит это «указание» у Канта? Для ответа на этот вопрос должно хватить короткой цитаты из КЧР. После того как Кант разделил «интуитивный способ представления» на «схематический» и «символический», он имеет в виду под этим только чистые «характе­ристики», «… т.е. обозначения понятий через сопутствующие чувственные знаки, которые вовсе не содержатся в созерцании объекта как необходимые, а только по закону ассоциации силы воображения, поэтому в субъективном намерении служат средством воспроизведения»[43]. К последним он причисляет «видимые» – данные зрительно – «алгебраические знаки». Здесь важно, однако, что они суть только «выражения для понятия». Кант признает в этом смысле, что математические объекты – «понятия» – отличимы от «характеристик». Он обсуждает объекты математики – и сделал бы это так же и с «поня­тиями» современной логики – с точки зрения значений.

Предметы, на которые указывают сигнитивно используемые знаки, по Канту являются тем самым значениями, а следовательно, ментальными предметами. По Гильберту, напротив, числовые знаки – это данные в восприятии предметы. С этой точки зрения сходство между гильбертовым формализмом и Кантовым изложением 1764 года – вопреки тезису Майера – представляется спорным. В дальнейшем мы еще возвратимся к этому предполагаемому отношению.

3. «Знаки in concreto» и формы созерцания

На фоне гильбертовской критики произведенного в трансцендентальной эстетике вывода понятия бесконечности из форм созерцания самое время заняться вопросом, какую ценность может иметь кантовская философия математики для обоснования математики на «знаках in concreto». Как показано в предыдущем разделе, Кант в своем «Исследовании ясности основных положений…» даже не осуществляет такую программу.

Мы не можем уделить должного внимания обстоятельному изложению той роли, которая в «Критике чистого разума» приписывает в математике пространству и времени. Следует упомянуть только о том, что формы созерцаний конституируют объекты математики не per se (сами по себе (лат.). – Прим. ред.) – т. е. не посредством «чистого созерцания» некоторого рода. Синтезы, в которых получаются «фор­мальные созерцания», т. е. – в предметном аспекте – структуры определенных объектов, например, определенных пространств в евклидовой геометрии, производятся не только при помощи пространства и времени, но представляют собой «фигурные синтезы» [В151-4, 204, 752, 196] продуктивного воображения[44], в которые встроены (матема­тические) категории. В этом смысле имеются операции, которые одновременно являются созерцанием и мышлением.

В рамках математики операции в продуктивном арифметическом и геометрическом конструировании также происходят всегда и необходимо в формах созерцания[45]. Если принять во внимание одну важную дефиницию, данную в рамках трансцендентальной эстетики, а именно определение «явления» как «предмета нашего чувства» [А34/В51], то отсюда естественно вытекает, что «в» этом «пространстве» и этом «времени» и, с другой стороны, среди того, что здесь порождается, – чисел, геометрических фигур и т. д. – не может быть дано никакое явление в смысле «предмета чувства». Иначе говоря, по Канту, пространство и время вполне можно мыслить таким образом, что «нетрудно представить себе отсутствие предметов в нем» [В38-9]. Например, в отношении времени: «явление прекрасно можно отделить от времени» [А31/В46]. Кант прав здесь лишь в отношении того факта, что также точки и линии конкретной, т. е. евклидовой геометрии, не являются предметами нашего чувства, другими словами, никакой точный математический объект не является идеализированным предметом «явление» в смысле его определения как «предмета нашего чувства».

(i)

После этих предварительных замечаний следует начать разъяснение условий (1) и (2). При этом важно иметь перед глазами то противоречие, которое prima facie существует между этими пунктами трансцендентальной эстетики. Первое высказывание (пространство является представленным как бесконечная «данная» величина) кажется несовместимым со вторым высказыванием (что существует некая безграничность в возможном продолжении созерцания, например, пространство бесконечно делимо).

Принимая во внимание (2), сначала скажем, что подразумеваемые под пространством и временем операции никоим образом не содержат per se ограничения. В этом смысле совершенно нормально говорить о «безграничности возможного продолжения созерцания». На этом фоне понимается также и смысл важного для предполагаемого противоречия слова «данный» в (1). Крайзель[46] в связи с этим ссылается на то, что Кант здесь должен был сказать «пространство» и «время» «даны» как бесконечные = безграничные, без установленных границ, причем слово «даны» в соответствии с замыслом Критики следует естественным образом понимать в том смысле, что пространство и время суть формы созерцания, от которых мы не можем ни освободиться, ни заменить их на другие правила созерцания.

Это толкование не только «спасает» трансцендентальную эстетику от непреодолимых феноменологических неопределенностей, которые надеялся обнаружить здесь Гильберт, например, от грубого противоречия, но к тому же и в большей мере соответствует основной мысли Критики, которая должна иметь приоритет даже тогда, когда она вступает в неустранимое противоречие с отдельными местами текста. Эта основная мысль, которая a fortiori (тем самым (лат.). – Прим. ред.) верна также и для трансцендентальной эстетики (и, таким образом, заставляет критику Гильберта бить мимо цели), является важной предпосылкой «Критики чистого разума», согласно которой человеческий дух и все его действительные акты или действия конечны и временны[47], т. е. сукцессивны. По Канту, о нечеловеческих способах созерцания нельзя сказать ничего осмысленного: мы не можем «… судить о созерцаниях иных мыслящих существ, связаны ли они субъективными условиями, которые ограничивают наши созерцания…» (подчеркнуто мной. – О. В.) и от которых мы не можем освободиться, т. е. которые «являются для нас общезаконными» [А27/В43].

 (ii)

Из этих соображений следует то, что каждая сконструированная фигура, число и арифметическая или алгебраическая формула и все сконструированные вещи и процессы должны быть построены при помощи «пространства», «времени» и категорий в виде блока временных сукцессивных операций в рамках некоторого пространства как «фигурно определенные пространства», т. е. определенные пространственные фигуры. После того как была выявлена конечность также и кантовской концепции созерцания (чистого или эмпирического), второй шаг к прояснению понятия бесконечности у Канта теперь основывается на дальнейшем различении, которое только что описанной, сукцессивно конструируемой субъективности сопоставляет в качестве коррелята объективную сторону (математического) процесса познания. Гильберт между тем строит свою аргументацию – и приведенные цитаты в этом отношении весьма показательны – основываясь почти целиком на этой объективной стороне, т. е. говорит об абсурдности данного в созерцании, например, в форме бесконечной знаковой конфигурации, бесконечного.

Пункты (1) и (2) и подобные места из «Критики чистого разума», которые, как показано в (i), имеют дело с субъективной стороной конструирования, если можно рассмотреть их точный смысл, не подкрепляют уже с этой точки зрения критику Гильберта. Если сформулировать критику Гильберта более точно, то ее можно выразить в следующем вопросе: не рассматривается ли бесконечное в кантовской теории математики, в том виде, как она изложена в КЧР, как предмет, т. е., точнее, не дано ли оно как явление[48]?

В концепции Канта следует, так же, как и в концепции Гильберта, вернуться к восприятию и его структурам. Понятие бесконечности все-таки можно получить – концепции Гильберта и Канта различаются именно в этом пункте – в рамках трансцендентальной эстетики. Однако в данном случае важно учитывать процесс идеализации – этот термин употребляется Кантом не expressis verbis (словесное выражение (лат.). – Прим. ред.), – который ведет к понятию бесконечности.

В В460 речь идет о феномене, заключающемся в том, что одновременно данное в пространстве многообразие пространственных объектов дано в созерцании как бесконечно продолжающееся за расплывчатые границы восприятия (например, зрения) так, что везде «к данным явлениям могут присоединяться» (В457) все новые и новые внешние явления. Мы принимаем за истину тот факт, что воспринимаемое заканчивается в пространстве не там, где заканчивается само наше пространственное восприятие (зрение, осязание, слух) – т. е. тогда, когда воспринимаемое в некотором пространственном опыте, например, «исчезает из поля зрения»[49].

Благодаря опыту, связанному со способностью видеть невидимые стороны объекта (со ссылкой на оптическое восприятие) или вообще до сих пор невидимые объекты, получается идея произвольной продолжаемости (визуального) восприятия до того невидимых объектов в пространстве. Тем самым в предметном аспекте возникает идея воспринимаемого мира возможных явлений, который простирается за пределы любого актуально воспринимаемого[50]. Этот мир Кант называет «абсолютным пространством» в противоположность данному в актуальном восприятии определенному пространству[51].

Сам Гильберт в другой связи описывает полностью аналогичный процесс идеализации, который в области арифметики привел к обоснованной Георгом Кантором арифметике бесконечного. К трансцендентным ординальным числам «…мы подходим просто посредством продолжения счета за пределы обыкновенной счетной бесконечности, т. е. с помощью вполне естественного, однозначно определенного последовательного продолжению обычного счета в конечном»[52].

Мы получили важный промежуточный результат, в соответствии с которым Кант, вопреки критике его Гильбертом и в соответствии с изложенной концепцией, согласился бы с Гильбертом относительно того, что не может быть дана никакая чувственно данная конфигурация, которая могла бы конкретизировать бесконечное в геометрии или арифметике. В соответствии с вышеизложенным это тем не менее достижимо при помощи близкого каждому математику процесса идеализации.

Необходимое в этом пункте различение различных понятий математической бесконечности, которые можно найти в трансцендентальной эстетике, а среди прочих и решающее для интуиционизма понятие «потенциальной бесконечности», должно быть здесь преодолено. Эти получившиеся в трансцендентальной эстетике понятия бесконечности должно уметь отличать от идеи экстенсивного актуально бесконечного, впервые обсуждающейся в диалектике. Эта идея оказывается антиномичной и является, таким образом, недопустимой. Однако как только эвристическая идея она, напротив, методически полезна[53].

(iii)

Теперь, чтобы можно было провести последний шаг аргументации, следует снова вернуться к рассуждениям части (2). Приведенная там цитата из «Критики способности суждения» ссылается на основополагающие различия понятий знака у Гильберта и Канта. Гильбертовы числовые знаки, которые являются чувственно данными конфигурациями, не являются сигнитивно функционирующими знаками. Сигнитивно функционируют, например, арабские цифры «1», «2»,… в том смысле, что они обозначают именно такие чувственно данные конфигурации.

Кант же, напротив, допускает для математики только такие виды знаков, а именно сигнитивно функционирующие характеристики, которые ссылаются не на рецептивно данные предметы, а на понятия. Как уже указывалось, по этим основаниям совершенно невозможно провести параллели между гильбертовым обоснованием элементарной теории чисел на числовых знаках (в гильбертовом смысле) и кантовским изложением в «Исследованиях ясности основных положений…». Несмотря на это, уже Кант уделяет внимание письменному языку, который – именно в смысле сигнитивного символьного языка – имеет для формализма решающее значение. К тому же это внимание налицо не только в докритических статьях, но и составляет важную часть изложенной в «Критике чистого разума» философии математики.

В «Критике чистого разума» есть места, на которые редко обращают внимание и которые однозначно стыкуются с высказываниями 1764 г. о «знаках in concreto». Так, Кант повторяет в «Критике чистого разума» изложенное уже в своей докритической статье различие между философским и математическим познанием. В соответствии с этим арифметика и алгебра используют – в противоположность евклидовой геометрии, которая использует остенсивные[54] конструкции – «харак­теристические конструкции, в которых понятия представлены знаками…» [А734 / В762; курсив мой. – O. В.]. Однако «… философское же познание неизбежно лишено этого преимущества, т. к. ему приходится рассматривать всегда in abstracto (посредством понятий), тогда как математика может исследовать общее in concreto (в единичном созерцании) и, тем не менее, с помощью чистого представления a priori, причем всякая ошибка становится очевидной» [А734-5/В762-3].

Также он говорит: «Математика конструирует не только величины (quanta), как это делается в геометрии, но и величину как таковую (quantitas), как это делается в алгебре, совершенно отвлекающейся от свойств предмета, которые должно мыслить согласно такому понятию величины» [А717/B745].

Так, математика «с помощью символической конструкции достигает того, чего дискурсивное познание посредством одних лишь понятий не может достигнуть» [А717 / B745].

В соответствии с приведенными цитатами в «Критике чистого разума» математические понятия, которые нельзя конструировать без созерцательных форм и которые требуют языкового выражения, расположены рядом с символами; последние, как выражения формального языка, уже указывают на понятия же[55]. Функция письменного языка для математического конструирования к тому же довольно многослойна. Здесь также можно ограничиться несколькими короткими тезисами. Различные аспекты будут указаны в подтверждение мнения Канта.

В частности, алгебраические знаки придают математическим предметам собственную, данную в визуальном поле знаковую материю, так что математическое оперирование, которое в противном случае ссылалось бы на воспоминание, относится к этим знакам.

Это соединение понятия со знаком, в частности, обусловливает возможность интерсубъективности математической науки, то есть в данном случае просто делает возможным совершение одного оперирования через другое, так как в каждом отдельном случае субъективно понимаемые понятия связаны с интерсубъективно согласованными символами. Это соединение, согласно цитате из «Критики способности суждения», является задачей способности воображения.

В работе «О бесконечном» Гильберт говорит о «самом большом из известных до сих пор простом числе»[56]: р = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 (39 цифр). Конечно, р является, «по крайней мере, в принципе»[57], представимым с помощью штрихов. Возникает, однако, вопрос: что значит в данном случае «в принципе»? Попытка понять ряд из «только» 100.000 штрихов как такое артикулированное единство противоречила бы любому описательному исследованию[58]. Можно с полным правом утверждать, что уже числа, большие, чем 10, представляющие собой не что иное, как числа в форме гильбертовых числовых знаков, а следовательно, конфигурации штрихов, нельзя понимать в собственном смысле. Уже отношение 387 < 388 не может быть дано описанным Гильбертом способом, без имеющегося в распоряжении заранее образованного понятия числа, которое создавало бы уверенность в том, что мы действительно достигли 387.

Фактически данность больших чисел (всех чисел > 10 или 12) можно рассматривать только как полный мысленный перебор, однозначность которого мыслится как гарантированная при помощи обобщения числа. Любопытно то, что Гильберт в другом месте ссылался как раз на эту идеализацию (отвлечение от конкретных ограничений на запасы бумаги, времени[59] и на обозримость) которая вводит в математику эту основополагающую операцию «еще один». Гильберт употреблял ссылку на эту идеализацию как аргумент против интуиционистов. В одном из промежуточных утверждений он говорит: «… как будто кому-либо удалось уже когда-либо сделать бесконечное число умозаключений»[60]. В обороте «в принципе» уже заключена решающая – и, конечно, исходящая из наглядно данных операций и конфигураций – идеализация, при помощи которой совершается первый шаг к разъяснению понятия бесконечности.

Таким образом, на вопрос Гильберта «… какое содержательное значение соответствует бесконечному в действительности»[61] можно ответить по примеру Канта и совершенно в духе Гильберта. Для бесконечного, рассмотренного содержательно, поскольку при этом принимается во внимание мир воспринимаемых предметов, нельзя указать никакого предмета, который соответствовал бы этому понятию. Однако в процессе идеализации порождается число w, данное в различных доказательствах как нумерически идентичный объект и попадающее тем самым в область ментальных объектов, которые, чтобы осмысленно и интерсубъективно ими оперировать, требуют языкового выражения, в частности, в языке формул.

В КЧР есть много пунктов, которые тотчас – и по праву – становятся жертвой гильбертовой критики. Такие пункты характеризуются тем, что они очевидным образом смешивают различные абстракции. Когда Кант, например, говорит о том, «… что ни время, ни также явления во времени не состоят из частей, которые являются наименьшими…» [А209/В254], то он стирает здесь границу между эмпирическим понятием конкретной линии, которая феноменально всегда состоит из меньших воспринимаемых линий, и математическим понятием идеальной линии, которая естественно определена как бесконечно делимая (и опирается на упомянутый процесс идеализации). Для каждого из этих суждений нам следует ответить на вопрос: можно ли обойти данные места в пользу предложенного способа прочтения или действительно следует искать иной путь интерпретации кантовской философии математики.

 

Библиографический список

 

Detlefsen[1] = Detlefsen Michael. Hilbert’s formalism. Revue Internationale de Philosophie Vol. 47. №186 (1993). 285-303.

Hilbert[1]   = Hilbert D. Neubegruendung der Mathematik. Erste Mitteilung. 1922. Hilbertiana. Fuenf Aufsaetze. Darmstadt: Wissenschaft­liche Buchgesellschaft, 1964 (русск. перевод: ГильбертД.Обоснованияматематики // ГильбертД. Основаниягеометрии. Л.: ОГИЗ, 1948. С. 365-388).

Hilbert[2]     = Hilbert D. Ueber das Unendliche. 1925. Hilbertiana. Fuenf Aufsaetze. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1964. (русск. перевод: ГильбертД. Обесконечном // ГильбертД. Основаниягеометрии. Л.: ОГИЗ, 1948. С. 338-364).

Husserl[1]    = Husserl Edmund. Formale und transzendentale Logik. Versuch einer Kritik der logischen Vernunft. Mit ergaenzenden Texten. Hrsg. und eingeleitet von Paul Janssen. Den Haag: Martinus Nijhoff, 1974 (Husserliana, Bd. XVII).

Kant[A]       = Kant Immanuel. Kritik der reinen Vernunft. Im Text zitiert nach den Seitenzahlen der Kantischen Originalausgabe von 1787, auf die mit vorgesetztem B verwiesen wird, bzw. mit vorgesetztem A auf die Seitenzahlen der 1. Auflage von 1781 (русск. перевод: Кант Иммануил. Kритика чистого разума. М.: Мысль, 1994. Сер. Философскоенаследие).

Kant[1]        =  Kant Immanuel. Untersuchung ueber die Deutlichkeit der Grundsaetze der natuerlichen Theologie und der Moral. 1764. Kants Werke. Akademie-Ausgabe. Bd. II. Berlin: Walter de Gruyter & Co., 1968 (русск. перевод: КантИммануил. Исследование о ясности положений натуральной теологии и морали. Сер. Философское наследие. М.: Мысль, 1964).

Kant[2]          = KantImmanuel. KritikderUrtheilskraft. Kants Werke. Akademie-Textausgabe, Bd. V. Berlin: Walter de Gruyter & Co., 1968 (русск. перевод: КантИммануил. Критика способности суждения. Сер. Философское наследие. М.: Мысль, 1966).

Krausser[1] = Krausser Peter. Kants Theorie der Erfahrung und Erfahrungswis­senschaft. Frankfurt a. M.: Vittorio Klostermann, 1981.

Majer[1]        =  Majer Ulrich. Das Unendliche – Eine blosse Idee? Revue Internationale de Philosophie Vol 47. №186 (4/1993). 319-341.

Majer[2]        = Majer Ulrich. Hilberts Methode der idealen Elemente und Kants regulativer Gebrauch der Ideen. Kant-Studien 84 (1993). 51-77.

Majer[3]     = Majer Ulrich. Hilbert, Reichenbach und der Neu-Kantianismus. Danneberg, L., A. Kamlah und L. Schaefer (Hrsg.). Hans Reichenbach und die Berliner Gruppe. Braunschweig[u. a.]: Vieweg, 1994.

Meschkowski[1] = Meschkowski, Herbert. Hundert Jahre Mengenlehre.

Parsons[1]     = Parsons Charles. Kants’s Philosophy of Arithmetic. Ch. Parsons. Mathematics in Philosophy: Selected Essays. Ithaca (N. Y.): Cornell UP, 1983.

Seebohm[1]    = Seebohm Thomas M. Zur Phaenomenologie kognitiver Leistungen im Umgang mit formalen Sprachen. Phaenomenologische Forschungen. 2 (1976). 49-75.

Smorynski[1] = Smorynski Craig. «The Incompleteness Theorems». J. Barwise (ed.). Handbook of Mathematical Logic. Amsterdam[u. a.]: North-Holland, 1991. 81-95 (русск. перевод: СморинскийК. Теоремыонеполноте: Справочнаякнигапоматематическойлогике: В 4 ч. / Подред. Дж. Барвайса. Ч. IV. Теория доказательств и конструктивная математика. М.: Наука, 1983. С. 9-53).

Tieszen[1]   = Tieszen Richard L. Mathematical Intuition. Dordrecht[u. a.]: Kluwer, 1989.

Weyl[1]        = Weyl Hermann. Ueber die neue Grundlagenkrise der Mathematik. Mathematische Zeitschrift (Bd. 10) 1921. 39-79.

 

^[1] См.: Weyl [1]. Выражение обозначает здесь дискуссию по различным способам обоснования математики, вызванную парадоксами теории множеств.

^[2] Обзор развития теории множеств и вызванной кризисом оснований дискуссии имеется у Meschkowski [1].

^[3] В переводе цитируется «Критика чистого разума» издания 1994 года (см. библиографический список). Цитируемые места будут располагаться среди основного текста и обозначаться номерами в скобках.

^[4] Изложение и критика соответствующих усилий Леонарда Нельсона имеется в Maier [2].

^[5] Здесь я особенно поддерживаю работыMaier [1], [2], [3]. В рамках аналитической философии я бы сослался, например, на Detlefsen [1], Parsons [1] и Tieszen [1].

^[6] См.: Maier [2, 74].

^[7] Кант [1], Maier [2, 52-3, 74].

^[8]См.: Maier [2, 74].

^[9]Гильберт [1, 388].

^[10] Конечно, Канту была доступна только конкретная математика. Абстрактная математика возникла в своих четких формах только во второй половине 19-го столетия. Равным образом и кантовская логика является интенсиональной. Современную (основанную Фреге) экстенсиональную логику Кант мог бы рассматривать как теорию множеств, и следовательно, как часть математики.

^[11] Анализ этого феномена свою первую наивысшую точку находит, пожалуй, в гуссерлевском дескриптивном анализе современной абстрактной математики. В «Формальной и трансцендентальной логике» Гуссерль ссылается на то, что мотивом для выработки его «логики непротиворечия» выступал определенный вид очевидности, который мы находим именно в абстрактной математике и логике (в гуссерлевской терминологии – формальной математике). Гуссерль говорит здесь, что его «… исходной главной проблемой для определения и выделения чистой логики «непротиворечия» была проблема очевидности, а именно очевидности формально-математических наук. Меня удивляет, что очевидность формальных математических (и также силлогистических) истин совершенно иная, чем прочих априорных истин, а именно, что они не нуждаются ни в каком экземплярном созерцании каких-нибудь объектов и событий, с которыми они, хотя и только в своей пустой формальной универсальности, связаны» (Husserl [1, 16]).

^[12]Hilbert [2].

^[13] Гильберт [2, 341].

^[14] Об этом – Сморинский [1].

^[15] Теперь, чтобы опровергнуть Броуера и Вейля, нужно будет финитным образом доказать это свойство консервативности.

^[16] Гильберт [2, 356].

^[17] Гильберт [2, 339].

^[18]Hilbert[2].

^[19] Гильберт [2, 342].

^[20] Там же [2, 343].

^[21] Там же [2, 346].

^[22] Там же [2, 364].

^[23] Там же [2, 352].

^[24] Там же [1, 366].

^[25] См. там же.

^[26] См.: Hilbert [1].

^[27] Об этом цитирование Леонарда Нельсона в Majer [2].

^[28] Цит. по Majer [2, 73].

^[29] См.: Majer [2, 74].

[30]См.: Majer [2, 74]. При этом возникает по меньшей мере первая часть известного возражения Фреге, согласно которому строгая номиналистическая позиция – а Майер именно таким образом воспринимает точку зрения Гильберта – не могла бы гарантировать однозначность первых натуральных чисел, поскольку здесь должно было бы получиться столько же много единиц, сколько имеется отдельных штрихов или точек. Это, однако, разрушает требуемую элементарной теорией чисел однозначность первых натуральных чисел. Вторая часть аргумента Фреге, согласно которой однозначность больших чисел – чисел, которые нельзя обозначить никакой последовательностью конкретных штрихов, – также не обеспечивается, аналогична определенным образом уже предъявленным аргументам.

[31]Majer [3, 265].

[32]Hilbert [1].

[33]Об этом также: Majer [3, 263].

[34]Доказательство такого вида восходит, в частности, к Г. Крайзелю. Относительно сведения программы доказательства непротиворечивости к программе доказательства консервативности см.: Сморинский [1]. По моему мнению, феноменологическая интерпретация геделевской теоремы о неполноте, показывающая, что математика не может быть финитным образом обоснована (об этом, напр.: Сморинский [1]); предлагает интереснейший, но далеко выходящий за пределы взглядов Канта подход к поставленной здесь систематической проблеме. К сожалению, здесь мы не можем уделить этой интерпретации должного внимания.

[35]Гильберт [2, 364].

[36]См. рассуждения Майера [3] по поводу критики Канта Райхенбахом и Шликом.

[37] Цит. по: Majer [3, 264].

[38] См.: Majer [2, 52].

[39]Кант [1, 250].

[40]Кант [1, 249].

[41]Кант [1, 249].

[42]Кант [1, 250] (выделено мной – О. В.). Из уже подчеркивавшейся здесь характеристики Кантовой философии математики ясно, что для Канта имеет значение только конкретная математика. Хотя он делает известные ограничения, касающиеся алгебры, «математические объекты», которые считаются «значениями» последовательностей символов, всегда суть вещественно определенные, а не только чисто формальные понятия. Трапеция была бы в этом смысле произведенным посредством конструировании объектом: «Так, например, произвольно воображают себе четыре прямые линии, очерчивающие плоскость таким образом, что стороны, противостоящие друг другу, не параллельны, и называют такую фигуру трапецией» (Кант [1, 246]).

[43]Кант [2].

[44]См. В152.

[45]Надо заметить, что Кант в КЧР предлагал рассматривать ее основные понятия – и это следует из задач трансцендентальной логики – как «правила», в частности, «пространство» и «время» как «правила чувственности» [A52/B76]. Созерцательное оперирование совершается, таким образом, точно по «правилам» «пространства» и «времени».

[46] См.: Krausser [1].

[47]См. В154-5, 155 прим., 150.

[48]Предметами в широком смысле (определяющей для предметности является идентифицируемость в разделенных во времени фазах) являются в равной мере чувственно данные числовые знаки Гильберта и значения (как формальные объекты). Это понимание предмета является столь всеобщим, что очень хорошо подходит для обобщения прежней характеристики гильбертовой позиции. Гильберт, согласно вышеизложенному, понимает выражение «предметный» только в смысле «предмет восприятия». Из этого естественным образом следует – ведь не может существовать никакихбесконечных чувственно данных конфигураций меловых штрихов, – что для Гильберта бесконечное есть лишь оборот речи.

[49]Кrausser [1, 59].

[50] Более того, эти предметы относительно своих определений являются полностью определенными, и каждый отдельный предмет обладает данным предикатом или нет.

[51]В 457, примечание.

[52]Гильберт [2, 348].

[53]См.: Krausser [1, 60].

[54] См.: В 745.

[55]Было уже показано, что Кант [1] expressis verbis излагает, что «символи­ческое конструирование» может иметь место вообще без ссылки на математические предметы. Конечно, здесь возникает важный вопрос: «…как на основе таких конфигураций, которые поначалу будут обсуждены при помощи чисто визуально воспринимаемого критерия, может быть актуализирована интенция на логический смысл» (Seebohm, 50; курсив мой. – О. В.) Мы не можем здесь подробно рассматривать этот вопрос.

[56]Гильберт [2, 353].

[57]См.: Majer [2, 70].

[58]Под этим имеется в виду, что – говоря математически – почти все натуральные числа больше р.

[59] Здесь напрашивается сравнение между рекурсивной теорией и теорией сложности. Первая рассматривает понятие вычислимости как полную идеализацию. Теория сложности, напротив, занимается только такими расчетами, которые могли бы быть проведены в «разумном» времени и «разумными» средствами.

[60]Гильберт [2, 340].

[61] Гильберт [2, 341] (курсив мой. – О. В.).

 

Первая публикация статьи:

Виганд, Олаф. «Знаки in concreto». К кантовскому «формалистическому» обоснованию математики// Логическое кантоведение-4: Труды международного семинара / Калинингр. ун-т. – Калининград, 1998. С. 216 – 238.

Перевод с немецкого А.М. Сологубова